次の定積分を計算します。 $\int_{2}^{2}(6x^2 - 4x)dx + \int_{1}^{2}(6x^2 - 4x)dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{2}^{2}(6x^2 - 4x)dx + \int_{1}^{2}(6x^2 - 4x)dx$

2. 解き方の手順

まず、最初の積分$\int_{2}^{2}(6x^2 - 4x)dx$を計算します。

積分区間が同じ値であるため、この積分の値は0になります。

$\int_{2}^{2}(6x^2 - 4x)dx = 0$

次に、2番目の積分$\int_{1}^{2}(6x^2 - 4x)dx$を計算します。

まず、$6x^2 - 4x$の不定積分を求めます。

$\int (6x^2 - 4x) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C$

不定積分を$F(x) = 2x^3 - 2x^2$とします。

定積分は、$F(2) - F(1)$で計算できます。

$F(2) = 2(2^3) - 2(2^2) = 2(8) - 2(4) = 16 - 8 = 8$

$F(1) = 2(1^3) - 2(1^2) = 2(1) - 2(1) = 2 - 2 = 0$

$\int_{1}^{2}(6x^2 - 4x)dx = F(2) - F(1) = 8 - 0 = 8$

最後に、2つの積分の結果を足し合わせます。

$0 + 8 = 8$

3. 最終的な答え

8