定積分の計算問題です。 $2 \int_{-3}^{2} (3x+1)(3x-1) dx - 3 \int_{1}^{2} (2x+1)(x-6) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分の計算問題です。

$2 \int_{-3}^{2} (3x+1)(3x-1) dx - 3 \int_{1}^{2} (2x+1)(x-6) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を計算します。

最初の積分は次のようになります。

$2 \int_{-3}^{2} (3x+1)(3x-1) dx = 2 \int_{-3}^{2} (9x^2 - 1) dx$

$= 2 [3x^3 - x]_{-3}^{2} = 2 [(3(2)^3 - 2) - (3(-3)^3 - (-3))] = 2 [(24 - 2) - (-81 + 3)] = 2 [22 - (-78)] = 2 [100] = 200$

次に、2番目の積分を計算します。

$3 \int_{1}^{2} (2x+1)(x-6) dx = 3 \int_{1}^{2} (2x^2 - 12x + x - 6) dx = 3 \int_{1}^{2} (2x^2 - 11x - 6) dx$

$= 3 [\frac{2}{3}x^3 - \frac{11}{2}x^2 - 6x]_{1}^{2} = 3 [(\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{11}{2}(2)^2 - 6(2)) - (\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{11}{2}(1)^2 - 6(1))]$

$= 3 [(\frac{16}{3} - 22 - 12) - (\frac{2}{3} - \frac{11}{2} - 6)] = 3 [(\frac{16}{3} - 34) - (\frac{4 - 33 - 36}{6})] = 3 [(\frac{16 - 102}{3}) - (\frac{-65}{6})]$

$= 3 [(\frac{-86}{3}) - (\frac{-65}{6})] = 3 [\frac{-172 + 65}{6}] = 3 [\frac{-107}{6}] = \frac{-107}{2}$

したがって、元の式は次のようになります。

$200 - (-\frac{107}{2}) = 200 + \frac{107}{2} = \frac{400 + 107}{2} = \frac{507}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{507}{2}$