1. 問題の内容
定積分 を計算する問題です。
2. 解き方の手順
まず、被積分関数を展開し、整理します。
\begin{align*}
2(x-3)^2 + 2x - 1 &= 2(x^2 - 6x + 9) + 2x - 1 \\
&= 2x^2 - 12x + 18 + 2x - 1 \\
&= 2x^2 - 10x + 17
\end{align*}
次に、不定積分を求めます。
\begin{align*}
\int (2x^2 - 10x + 17) \, dx &= \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 17x + C
\end{align*}
最後に、定積分を計算します。
\begin{align*}
\int_{1}^{2} (2x^2 - 10x + 17) \, dx &= \left[ \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 17x \right]_{1}^{2} \\
&= \left( \frac{2}{3}(2^3) - 5(2^2) + 17(2) \right) - \left( \frac{2}{3}(1^3) - 5(1^2) + 17(1) \right) \\
&= \left( \frac{16}{3} - 20 + 34 \right) - \left( \frac{2}{3} - 5 + 17 \right) \\
&= \left( \frac{16}{3} + 14 \right) - \left( \frac{2}{3} + 12 \right) \\
&= \frac{16}{3} + 14 - \frac{2}{3} - 12 \\
&= \frac{14}{3} + 2 \\
&= \frac{14}{3} + \frac{6}{3} \\
&= \frac{20}{3}
\end{align*}