3次方程式 $x^3 - 2x - 1 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x - 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、この方程式の解を予想します。$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$

となるので、$x = -1$ はこの方程式の解の一つです。

したがって、$x + 1$ は $x^3 - 2x - 1$ の因数です。

$x^3 - 2x - 1$ を $x + 1$ で割ると、

$x^3 - 2x - 1 = (x + 1)(x^2 - x - 1)$

となります。したがって、方程式は

$(x + 1)(x^2 - x - 1) = 0$

となります。

$x + 1 = 0$ より $x = -1$ が得られます。

$x^2 - x - 1 = 0$ を解くために、二次方程式の解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -1$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = -1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$