与えられた不等式 $x^3 + 2x^2 - 2x - 5 < -x^2 + 2x + 7$ を解き、$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^3 + 2x^2 - 2x - 5 < -x^2 + 2x + 7$ を解き、$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項して整理します。

$x^3 + 2x^2 - 2x - 5 + x^2 - 2x - 7 < 0$

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 < 0$

次に、左辺の3次式を因数分解します。

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x+3) - 4(x+3) = (x^2 - 4)(x+3) = (x-2)(x+2)(x+3)$

したがって、不等式は

$(x-2)(x+2)(x+3) < 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲を求めるために、数直線を使い、それぞれの因数が0になる点（-3, -2, 2）を書き込みます。

次に、それぞれの範囲で $(x-2)(x+2)(x+3)$ の符号を調べます。

* $x < -3$ のとき: $(x-2)<0$, $(x+2)<0$, $(x+3)<0$ なので、$(x-2)(x+2)(x+3) < 0$

* $-3 < x < -2$ のとき: $(x-2)<0$, $(x+2)<0$, $(x+3)>0$ なので、$(x-2)(x+2)(x+3) > 0$

* $-2 < x < 2$ のとき: $(x-2)<0$, $(x+2)>0$, $(x+3)>0$ なので、$(x-2)(x+2)(x+3) < 0$

* $x > 2$ のとき: $(x-2)>0$, $(x+2)>0$, $(x+3)>0$ なので、$(x-2)(x+2)(x+3) > 0$

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 < 0$ を満たす $x$ の範囲は $x < -3$ または $-2 < x < 2$ です。

3. 最終的な答え

$x < -3$ または $-2 < x < 2$