集合$A, B, C$が与えられたとき、和集合$A \cup B \cup C$の要素の個数$n(A \cup B \cup C)$を求めよ。 ただし、$A$は1以上50以下の4の倍数の集合、$B$は1以上50以下の5の倍数の集合、$C$は1以上50以下の6の倍数の集合である。

1. 問題の内容

集合$A, B, C$が与えられたとき、和集合$A \cup B \cup C$の要素の個数$n(A \cup B \cup C)$を求めよ。

ただし、$A$は1以上50以下の4の倍数の集合、$B$は1以上50以下の5の倍数の集合、$C$は1以上50以下の6の倍数の集合である。

2. 解き方の手順

和集合の要素の個数を求めるには、包除原理を利用する。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

まず、$n(A), n(B), n(C)$をそれぞれ求める。

$n(A) = \lfloor \frac{50}{4} \rfloor = 12$

$n(B) = \lfloor \frac{50}{5} \rfloor = 10$

$n(C) = \lfloor \frac{50}{6} \rfloor = 8$

次に、$n(A \cap B), n(B \cap C), n(C \cap A)$を求める。

$A \cap B$は4の倍数かつ5の倍数であるから、20の倍数の集合。

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{50}{20} \rfloor = 2$

$B \cap C$は5の倍数かつ6の倍数であるから、30の倍数の集合。

$n(B \cap C) = \lfloor \frac{50}{30} \rfloor = 1$

$C \cap A$は6の倍数かつ4の倍数であるから、12の倍数の集合。

$n(C \cap A) = \lfloor \frac{50}{12} \rfloor = 4$

最後に、$n(A \cap B \cap C)$を求める。

$A \cap B \cap C$は4の倍数かつ5の倍数かつ6の倍数であるから、60の倍数の集合。

$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{50}{60} \rfloor = 0$

したがって、$n(A \cup B \cup C)$は、

$n(A \cup B \cup C) = 12 + 10 + 8 - 2 - 1 - 4 + 0 = 23$

3. 最終的な答え

23