集合$A, B, C$が次のように定義されています。 $A = \{1 \text{ 以上 } 100 \text{ 以下の } 2 \text{ の倍数}\}$ $B = \{1 \text{ 以上 } 100 \text{ 以下の } 3 \text{ の倍数}\}$ $C = \{1 \text{ 以上 } 100 \text{ 以下の } 4 \text{ の倍数}\}$ このとき、$n(A \cup B \cup C)$を求めなさい。

1. 問題の内容

集合$A, B, C$が次のように定義されています。

$A = \{1 \text{ 以上 } 100 \text{ 以下の } 2 \text{ の倍数}\}$

$B = \{1 \text{ 以上 } 100 \text{ 以下の } 3 \text{ の倍数}\}$

$C = \{1 \text{ 以上 } 100 \text{ 以下の } 4 \text{ の倍数}\}$

このとき、$n(A \cup B \cup C)$を求めなさい。

2. 解き方の手順

$n(A \cup B \cup C)$は、和集合$A \cup B \cup C$に含まれる要素の個数を表します。

包除原理を用いて、これを計算します。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

まず、$n(A), n(B), n(C)$を計算します。

$n(A) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$n(B) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$n(C) = \lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

次に、$n(A \cap B), n(B \cap C), n(C \cap A)$を計算します。

$A \cap B$は2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数です。

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$B \cap C$は3の倍数かつ4の倍数、つまり12の倍数です。

$n(B \cap C) = \lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

$C \cap A$は4の倍数かつ2の倍数、つまり4の倍数です。

$n(C \cap A) = \lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

最後に、$n(A \cap B \cap C)$を計算します。

$A \cap B \cap C$は2の倍数かつ3の倍数かつ4の倍数、つまり12の倍数です。

$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

したがって、

$n(A \cup B \cup C) = 50 + 33 + 25 - 16 - 8 - 25 + 8 = 67$

3. 最終的な答え

67