与えられた2次関数 $y = -(x-2)^2 - 1$ のグラフにおいて、$0 < x < 4$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。ただし、値が存在しない場合は「なし」と答える。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -(x-2)^2 - 1$ のグラフにおいて、$0 < x < 4$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。ただし、値が存在しない場合は「なし」と答える。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数は $y = -(x-2)^2 - 1$ であり、グラフは上に凸な放物線である。頂点は $(2, -1)$ である。定義域は $0 < x < 4$ である。

* 最大値を求める：

頂点のx座標 $x=2$ は定義域 $0 < x < 4$ に含まれている。したがって、$x=2$ のとき最大値をとる。

$x = 2$ を関数に代入すると、$y = -(2-2)^2 - 1 = -1$ となる。

* 最小値を求める：

定義域の端点である $x = 0$ と $x = 4$ に注目する。これらの値は定義域に含まれていないため、厳密な意味での最小値は存在しない。ただし、$x$ が $0$ または $4$ に限りなく近づくにつれて、$y$ の値が限りなく小さくなることを考慮する。

$x=0$ のとき、$y = -(0-2)^2 - 1 = -4 - 1 = -5$。

$x=4$ のとき、$y = -(4-2)^2 - 1 = -4 - 1 = -5$。

$x$ が $0$ または $4$ に限りなく近づくとき、$y$ は $-5$ に限りなく近づく。しかし、$0<x<4$ の範囲では、$x=0$ または $x=4$ になることはないため、最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

* 最大値：$-1$ ($x=2$ のとき)

* 最小値：なし