2点 $A(4,2)$ と $B(-2,2)$ を通り、$x$軸に接する円の方程式と中心の座標を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(4,2)$ と $B(-2,2)$ を通り、$x$軸に接する円の方程式と中心の座標を求める。

2. 解き方の手順

円の中心を $(a,b)$、半径を $r$ とする。円が $x$軸に接するので、$|b| = r$ である。

円の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ であり、今回は $|b| = r$ なので、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = b^2$ となる。

点 $A(4,2)$ と $B(-2,2)$ を通るので、それぞれ代入すると

$(4-a)^2 + (2-b)^2 = b^2$

$(-2-a)^2 + (2-b)^2 = b^2$

となる。

$(4-a)^2 + (2-b)^2 = (-2-a)^2 + (2-b)^2$ より

$(4-a)^2 = (-2-a)^2$

$16 - 8a + a^2 = 4 + 4a + a^2$

$12 = 12a$

$a = 1$

次に、$(4-a)^2 + (2-b)^2 = b^2$ に $a=1$ を代入すると

$(4-1)^2 + (2-b)^2 = b^2$

$9 + 4 - 4b + b^2 = b^2$

$13 = 4b$

$b = \frac{13}{4}$

円の半径は $r = |b| = \frac{13}{4}$ となる。

よって、円の方程式は

$(x-1)^2 + (y-\frac{13}{4})^2 = (\frac{13}{4})^2$

$(x-1)^2 + (y-\frac{13}{4})^2 = \frac{169}{16}$

3. 最終的な答え

円の方程式: $(x-1)^2 + (y-\frac{13}{4})^2 = \frac{169}{16}$

円の中心座標: $(1, \frac{13}{4})$