## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題13について解答します。

与えられたベクトル $\vec{a} = (-1, 0, 1)$ と $\vec{b} = (3, -2, 1)$ に対して、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とします。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を $t$ で表してください。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ のとき、$t$ の値を求めてください。

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2. 解き方の手順

**(1) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を $t$ で表す**

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{a} + t\vec{b})$ となります。

内積の性質から、$\vec{a} \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + t (\vec{a} \cdot \vec{b})$ となります。

$\vec{a} \cdot \vec{a} = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(3) + (0)(-2) + (1)(1) = -3 + 0 + 1 = -2$

よって、

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 + t(-2) = 2 - 2t$

**(2) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ のとき、$t$ の値を求める**

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ であるとき、以下の式が成り立ちます。

$\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}$

$\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{1}{2} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 - 2t$ (上記(1)の結果)

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (-1, 0, 1) + t(3, -2, 1) = (-1+3t, -2t, 1+t)$

$|\vec{c}| = \sqrt{(-1+3t)^2 + (-2t)^2 + (1+t)^2} = \sqrt{1 - 6t + 9t^2 + 4t^2 + 1 + 2t + t^2} = \sqrt{14t^2 - 4t + 2}$

したがって、

$\frac{1}{2} = \frac{2 - 2t}{\sqrt{2}\sqrt{14t^2 - 4t + 2}}$

$\sqrt{14t^2 - 4t + 2} = 2\sqrt{2}(1 - t)$

両辺を2乗すると、

$14t^2 - 4t + 2 = 8(1 - 2t + t^2)$

$14t^2 - 4t + 2 = 8 - 16t + 8t^2$

$6t^2 + 12t - 6 = 0$

$t^2 + 2t - 1 = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

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3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 - 2t$

(2) $t = -1 \pm \sqrt{2}$