2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ のとき、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ のとき、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ が成り立つ。

問題より、$\theta = \frac{\pi}{6}$ であるから、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(x-2) + (-1)(-x) + 1(4) = 2x - 4 + x + 4 = 3x$

次に、$|\vec{a}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

次に、$|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{b}| = \sqrt{(x-2)^2 + (-x)^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 16} = \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

したがって、

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ より

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{\sqrt{6} \sqrt{2x^2 - 4x + 20}}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{\sqrt{12x^2 - 24x + 120}}$

両辺を2乗して、

$\frac{3}{4} = \frac{9x^2}{12x^2 - 24x + 120}$

$\frac{1}{4} = \frac{3x^2}{12x^2 - 24x + 120}$

$12x^2 - 24x + 120 = 12x^2$

$-24x = -120$

$x = \frac{-120}{-24} = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$