ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるとき、 $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるとき、 $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積と、なす角の関係式を利用します。

内積の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

ここで、$\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角です。今回は $\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(x-2) + (-1)(-x) + (1)(4) = 2x - 4 + x + 4 = 3x$

次に、 $|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

次に、 $|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{(x-2)^2 + (-x)^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 16} = \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、内積の式は以下のようになります。

$3x = \sqrt{6} \sqrt{2x^2 - 4x + 20} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3x = \frac{\sqrt{18}}{2} \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

$3x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

両辺を $\frac{3}{2}$ で割ると、

$2x = \sqrt{2} \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

両辺を2乗すると、

$4x^2 = 2(2x^2 - 4x + 20)$

$4x^2 = 4x^2 - 8x + 40$

$0 = -8x + 40$

$8x = 40$

$x = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$