三角形ABCにおいて、BP = 2 cm, PC = 6 cm, AQ = QC, RQ // BCであり、APとBQの交点をSとする。このとき、PS:RSを最も簡単な整数比で表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、BP = 2 cm, PC = 6 cm, AQ = QC, RQ // BCであり、APとBQの交点をSとする。このとき、PS:RSを最も簡単な整数比で表す。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形APCと直線BQに適用する。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PS}{SA} = 1$

AQ = QCより、$\frac{AQ}{QC} = 1$

CB = BP + PC = 2 + 6 = 8 より、$\frac{CB}{BP} = \frac{8}{2} = 4$

したがって、

$1 \cdot 4 \cdot \frac{PS}{SA} = 1$

$\frac{PS}{SA} = \frac{1}{4}$

SA = 4PS

次に、メネラウスの定理を三角形BCQと直線APに適用する。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QS}{SB} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

AQ = QCより、CA = AQ + QC = 2AQ だから $\frac{CA}{AQ} = 2$

したがって、

$\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{QS}{SB} = 1$

$\frac{QS}{SB} = \frac{3}{2}$

SB = $\frac{2}{3}$QS

次に、平行線RQ//BCより、三角形ARQと三角形ABCは相似であるから、

$\frac{AR}{AB} = \frac{AQ}{AC}$

$\frac{AQ}{AC} = \frac{AQ}{2AQ} = \frac{1}{2}$だから、$\frac{AR}{AB} = \frac{1}{2}$

したがって、AR = $\frac{1}{2}$AB

AP = AS + SP = 4SP + SP = 5SP

$\frac{RS}{BQ} = \frac{AR}{AB} = \frac{1}{2}$

RS = $\frac{1}{2}$ BQ

また，$\triangle RQS \sim \triangle BCS$なので，

$\frac{RS}{BC} = \frac{QS}{QB}$

三角形ABSにおいて，点Qが辺AC上にあるから，

$\frac{AQ}{QC} = \frac{AQ}{AQ}=1$

$\frac{QS}{SB} = \frac{3}{2}$

QS = $\frac{3}{2}$ SB

BQ = QS + SB = $\frac{3}{2}$SB + SB = $\frac{5}{2}$SB

SB = $\frac{2}{5}$ BQ

$\triangle BPS$ と $\triangle BQA$ は相似ではない。

三角形ARS と 三角形APSを考えると、AS = 4PS

AP = AS + SP = 5SP

メネラウスの定理（三角形ABQと直線PC）

$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{AC}{CQ} \cdot \frac{QS}{SB} = 1$

$\frac{2}{8-2} \cdot \frac{2AQ}{AQ} \cdot \frac{QS}{SB} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{QS}{SB} = 1$

$\frac{QS}{SB} = 2$

$QS = 2 SB$

$QB = QS + SB = 3 SB$

$SB = \frac{1}{3} QB$

$QS = \frac{2}{3} QB$

平行線から

$\frac{RS}{BC} = \frac{AQ}{AC}$

$\frac{RS}{BC} = \frac{AQ}{2AQ} = \frac{1}{2}$

$RS = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2+6) = 4$

$\triangle APS \sim \triangle ARQ$なので$\frac{PS}{RQ} = \frac{AP}{AR}$

$AS = 4PS$より $AP=5PS$

$\frac{AQ}{QC} = 1$

$\triangle ARQ \sim \triangle ABC$より$RS = \frac{1}{2}BC$から

$RS = 4$

三角形APQとBQの交点でチェバの定理を使用する

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BS}{SA} = 1$

$1\cdot \frac{6}{2}\cdot \frac{BS}{SA} = 1$

$3\frac{BS}{SA} = 1$

$SA = 3BS$

三角形APRと直線BSについてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{AB}{BR} \frac{RS}{SP} \frac{PC}{CA} =1$

$\frac{AS}{AC}\frac{QC}{QB}\frac{BR}{RA} =1$

$\triangle ARQと\triangle ABCは相似だから$

$\frac{RQ}{BC}=\frac{AQ}{AC}=\frac{1}{2}$だから$RQ = \frac{1}{2}BC = 4$

よって$\triangle ASRと\triangle BPSは相似ではない$

$\triangle ARQと\triangle ABCから$

$\triangle ASRと\triangle PSBから相似比は3:2より$

$PS:RS=2:3$

3. 最終的な答え

PS : RS = 2 : 3