放物線 $y = 2(x+2)^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したときの放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2(x+2)^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したときの放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

放物線を平行移動させる問題です。平行移動は、放物線の式における $x$ を $x - a$ に、 $y$ を $y - b$ に置き換えることで行います。ここで、$x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動させることを意味します。

元の放物線の式は $y = 2(x+2)^2 + 1$ です。

$x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動するので、$x$ を $x - 1$ に置き換えます。

$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動するので、$y$ を $y - (-3) = y + 3$ に置き換えます。

したがって、新しい放物線の式は $y + 3 = 2((x - 1) + 2)^2 + 1$ となります。

これを整理すると、

$y + 3 = 2(x + 1)^2 + 1$

$y = 2(x + 1)^2 + 1 - 3$

$y = 2(x + 1)^2 - 2$

となります。

3. 最終的な答え

$y = 2(x+1)^2 - 2$