双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0, b > 0$) 上の点 $P(p, q)$ (ただし $p > 0, q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q, R$ とする。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ ($O$ は原点) の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0, b > 0$) 上の点 $P(p, q)$ (ただし $p > 0, q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q, R$ とする。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ ($O$ は原点) の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の漸近線を求める。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ である。

点 $P(p, q)$ を通る傾き $\frac{b}{a}$ の直線は $y - q = \frac{b}{a} (x - p)$ であり、これは $y = \frac{b}{a} x - \frac{bp}{a} + q$ となる。

この直線と漸近線 $y = -\frac{b}{a} x$ の交点を求める。

$\frac{b}{a} x - \frac{bp}{a} + q = -\frac{b}{a} x$

$\frac{2b}{a} x = \frac{bp}{a} - q$

$x = \frac{ap}{2a} - \frac{aq}{2b} = \frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}$

$y = -\frac{b}{a} (\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}) = -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって、点 $R$ の座標は $(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$ となる。

点 $P(p, q)$ を通る傾き $-\frac{b}{a}$ の直線は $y - q = -\frac{b}{a} (x - p)$ であり、これは $y = -\frac{b}{a} x + \frac{bp}{a} + q$ となる。

この直線と漸近線 $y = \frac{b}{a} x$ の交点を求める。

$-\frac{b}{a} x + \frac{bp}{a} + q = \frac{b}{a} x$

$\frac{2b}{a} x = \frac{bp}{a} + q$

$x = \frac{ap}{2a} + \frac{aq}{2b} = \frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}$

$y = \frac{b}{a} (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}) = \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって、点 $Q$ の座標は $(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$ となる。

平行四辺形 $ORPQ$ の面積は、ベクトル $\overrightarrow{OR}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の外積の絶対値に等しい。

$\overrightarrow{OR} = (\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

$\overrightarrow{OQ} = (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

$S = |(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b})(\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}) - (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b})(-\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})|$

$S = |\frac{bp^2}{4a} + \frac{pq}{4} - \frac{bp^2}{4a} - \frac{aq^2}{4b} - (-\frac{bp^2}{4a} + \frac{pq}{4} - \frac{bp^2}{4a} + \frac{aq^2}{4b})|$

$S = |\frac{bp^2}{4a} + \frac{pq}{4} - \frac{bp^2}{4a} - \frac{aq^2}{4b} + \frac{bp^2}{4a} - \frac{pq}{4} + \frac{bp^2}{4a} - \frac{aq^2}{4b}|$

$S = |\frac{bp^2}{2a} - \frac{aq^2}{2b}|$

ここで、$P(p, q)$ は双曲線上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ が成り立つ。

$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$

$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ より $p^2 = a^2(1 + \frac{q^2}{b^2})$

$q^2 = b^2 (\frac{p^2}{a^2} - 1)$

$S = |\frac{b p^2}{2a} - \frac{a q^2}{2b}| = |\frac{b}{2a} p^2 - \frac{a}{2b} q^2| = \frac{1}{2a b} |b^2 p^2 - a^2 q^2| = \frac{1}{2ab} |a^2 b^2| = \frac{a^2 b^2}{2ab} = \frac{ab}{2}$.

しかし、平行四辺形の面積は $pq$ になるはず。

$S = pq$

3. 最終的な答え

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