三角形ABCと三角形ACDが与えられており、$\angle ABC = \angle ACD$, $AB=6cm$, $BC=4cm$, $CA=3cm$であるとき、$AD$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCと三角形ACDが与えられており、$\angle ABC = \angle ACD$, $AB=6cm$, $BC=4cm$, $CA=3cm$であるとき、$AD$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\angle ABC = \angle ACD$より、$\triangle ABC$と$\triangle ACD$は相似であると考えられます。

$\triangle ABC$と$\triangle ACD$において、$\angle ABC = \angle ACD$であり、$\angle BAC$は共通ではありません。

相似な三角形を特定するために、辺の比を確認します。

もし$\triangle ABC \sim \triangle ACD$であるなら、

$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD} = \frac{CA}{DA}$

が成り立つはずです。

$\frac{AB}{AC} = \frac{6}{3} = 2$

$\frac{BC}{CD} = \frac{4}{CD}$

$\frac{CA}{DA} = \frac{3}{AD}$

ここで、$\triangle ABC \sim \triangle ACD$ではなく、$\triangle ABC \sim \triangle DCA$だと仮定すると、

$\frac{AB}{DC} = \frac{BC}{CA} = \frac{CA}{AD}$

が成り立つはずです。

$\frac{AB}{DC} = \frac{6}{DC}$

$\frac{BC}{CA} = \frac{4}{3}$

$\frac{CA}{AD} = \frac{3}{AD}$

$\frac{BC}{CA} = \frac{4}{3} = \frac{CA}{AD} = \frac{3}{AD}$より、

$4AD = 9$

$AD = \frac{9}{4} = 2.25$

次に、$DC$の長さを求めます。

$\frac{AB}{DC} = \frac{6}{DC} = \frac{4}{3}$

$4DC = 18$

$DC = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

このとき、$\triangle ABC \sim \triangle DCA$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$AD = 2.25$ cm