与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + xy + 2y - 4$ (2) $x^3 + x^2y + x^2 + xy - 2x - 2y$ (3) $a^3 + ab - ac^2 + bc$ (4) $x^2 + y^2 + xz - yz - 2xy$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + xy + 2y - 4$

(2) $x^3 + x^2y + x^2 + xy - 2x - 2y$

(3) $a^3 + ab - ac^2 + bc$

(4) $x^2 + y^2 + xz - yz - 2xy$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + xy + 2y - 4$を因数分解します。

$x$について整理すると、$x^2 + xy + 2y - 4 = x^2 - 4 + xy + 2y = (x+2)(x-2) + y(x+2) = (x+2)(x-2+y) = (x+2)(x+y-2)$

(2)

$x^3 + x^2y + x^2 + xy - 2x - 2y$を因数分解します。

$x$について整理すると、

$x^3 + x^2y + x^2 + xy - 2x - 2y = x^3+x^2y+x^2+xy-2x-2y = x^2(x+y+1)+x(y-2)-2y$

この式は因数分解できないように見えるので、もう一度見てみます。

$x^3 + x^2y + x^2 + xy - 2x - 2y = x^2(x+y) + (x^2+xy-2x) - 2y = x^2(x+y) + x(x+y-2) - 2y$

これは難しいです。

$x$で整理せず、$x+y$に着目すると

$x^3+x^2y+x^2+xy-2x-2y = x^2(x+y) +x(x+y)-2(x+y) = (x^2+x-2)(x+y) = (x+2)(x-1)(x+y)$

(3)

$a^3 + ab - ac^2 + bc$を因数分解します。

$a$について整理すると、

$a^3 + ab - ac^2 + bc = a^3 + a(b-c^2) + bc = a^3 + ab - ac^2 + bc$

順番を変えてみると

$a^3-ac^2+ab+bc = a(a^2-c^2)+b(a+c) = a(a-c)(a+c) + b(a+c) = (a+c)(a(a-c)+b) = (a+c)(a^2-ac+b)$

(4)

$x^2 + y^2 + xz - yz - 2xy$を因数分解します。

$z$について整理すると、$x^2 + y^2 + xz - yz - 2xy = z(x-y) + x^2 - 2xy + y^2 = z(x-y) + (x-y)^2 = (x-y)(z+x-y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x+y-2)$

(2) $(x+2)(x-1)(x+y)$

(3) $(a+c)(a^2-ac+b)$

(4) $(x-y)(x-y+z)$