$p$ を3以上の素数、$x, y$ を整数とするとき、$\frac{x}{p} = \frac{y}{p-2}$ の値が整数ならば、この整数の値は $x, y$ の最大公約数に一致することを示せ。

1. 問題の内容

$p$ を3以上の素数、$x, y$ を整数とするとき、$\frac{x}{p} = \frac{y}{p-2}$ の値が整数ならば、この整数の値は $x, y$ の最大公約数に一致することを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x}{p} = \frac{y}{p-2}$ という条件から、$x$ と $y$ の関係を求めます。

$\frac{x}{p} = \frac{y}{p-2} = k$ とおきます。ここで、$k$ は整数です。

すると、

$x = pk$

$y = (p-2)k$

と表せます。

$x$ と $y$ の最大公約数を $d$ とすると、$x = da$、$y = db$ （$a, b$ は互いに素な整数）と表せます。

つまり、$pk = da$、$(p-2)k = db$ となります。

このとき、$d$ は $pk$ と $(p-2)k$ の最大公約数なので、$d = \gcd(pk, (p-2)k) = k \gcd(p, p-2)$ となります。

ここで、$p$ は素数なので、$p$ と $p-2$ の最大公約数について考えます。

$\gcd(p, p-2)$ は $p$ と $p-2$ の両方を割り切る最大の整数です。

$p$ と $p-2$ の差は $p - (p-2) = 2$ なので、$\gcd(p, p-2)$ は 2 の約数である可能性があります。

したがって、$\gcd(p, p-2) = 1$ または $2$ です。

$p$ が3以上の素数であることから、$p$ は奇数なので、$p-2$ も奇数です。

したがって、$p$ と $p-2$ はどちらも奇数であるため、最大公約数は 2 にはなり得ません。

よって、$\gcd(p, p-2) = 1$ となります。

したがって、$d = k \cdot 1 = k$ となります。

ここで、$k = \frac{x}{p} = \frac{y}{p-2}$ であり、これは問題文で整数と与えられているので、$k$ は整数です。

そして、$d = \gcd(x, y)$ であり、$d = k$ であることが示されました。

つまり、$\gcd(x, y) = k = \frac{x}{p} = \frac{y}{p-2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x}{p} = \frac{y}{p-2}$ の値は $x, y$ の最大公約数に一致する。