画像にある数学の問題のうち、2番の問題の(3)と(4)を解きます。 (3) $n^2$ が 3 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でないことを証明せよ。 (4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数であることを証明せよ。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題のうち、2番の問題の(3)と(4)を解きます。

(3) $n^2$ が 3 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でないことを証明せよ。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(3)

対偶を考える。

元の命題: $n^2$ が 3 の倍数でない $\implies$ $n$ は 3 の倍数でない

対偶: $n$ が 3 の倍数である $\implies$ $n^2$ は 3 の倍数である

$n$ が 3 の倍数であるとき、$n = 3k$ (k は整数) と表せる。

このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は 3 の倍数である。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(4)

対偶を考える。

元の命題: $n^3 + 1$ が奇数 $\implies$ $n$ は偶数

対偶: $n$ が奇数 $\implies$ $n^3 + 1$ は偶数

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ (k は整数) と表せる。

このとき、$n^3 + 1 = (2k + 1)^3 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$ となり、$n^3 + 1$ は偶数である。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(3) $n^2$ が 3 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でないことを証明できた。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数であることを証明できた。