4桁の整数 $N$ について、千の位の数を $a$、百の位の数を $b$、十の位の数を $c$、一の位の数を $d$ とします。$a+c=b+d$ のとき、$N$ が 11 の倍数となることを説明する穴埋め問題です。空欄①から⑤を埋めます。

1. 問題の内容

4桁の整数 $N$ について、千の位の数を $a$、百の位の数を $b$、十の位の数を $c$、一の位の数を $d$ とします。$a+c=b+d$ のとき、$N$ が 11 の倍数となることを説明する穴埋め問題です。空欄①から⑤を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$N$ を $a, b, c, d$ を用いて表します。

$N = 1000a + 100b + 10c + d$ （①は 1000, ②は 100, ③は 10)

次に、$N$ を変形します。

$N = 1000a + 100b + 10c + d = 10(a+c) + (b+d) + 990a + 99b$

$=10(a+c)+(b+d)+99(10a+b)$ (④は99)

ここで、$a+c=b+d=k$ とおくと、

$N = 10k + k + 99(10a+b) = 11k + 99(10a+b) = 11[k+9(10a+b)]$

$N=11[k+9(10a+b)]$ （⑤は $11[k+9(10a+b)]$）

よって、$N$ は 11 の倍数になります。

3. 最終的な答え

① 1000

② 100

③ 10

④ 99

⑤ $11[k+9(10a+b)]$