正の整数 $a$ と $b$ は互いに素でなく、最小公倍数が $2024$ で、$a+b = 437$ である。 (1) $2024$ と $437$ の最大公約数を求めよ。 (2) $a$ と $b$ の最大公約数を求めよ。 (3) $a$ と $b$ の値の組をすべて求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $a$ と $b$ は互いに素でなく、最小公倍数が $2024$ で、$a+b = 437$ である。

(1) $2024$ と $437$ の最大公約数を求めよ。

(2) $a$ と $b$ の最大公約数を求めよ。

(3) $a$ と $b$ の値の組をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2024$ と $437$ の最大公約数を求める。ユークリッドの互除法を用いる。

$2024 = 437 \times 4 + 276$

$437 = 276 \times 1 + 161$

$276 = 161 \times 1 + 115$

$161 = 115 \times 1 + 46$

$115 = 46 \times 2 + 23$

$46 = 23 \times 2 + 0$

よって、$2024$ と $437$ の最大公約数は $23$ である。

(2) $a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とおく。

$a = gx$, $b = gy$ （$x$ と $y$ は互いに素な整数）と表せる。

$a+b = 437$ より、$gx + gy = 437$ 、すなわち $g(x+y) = 437$ 。

$a$ と $b$ の最小公倍数は $2024$ なので、$gxy = 2024$ 。

(1)より、$437 = 23 \times 19$ 。したがって、$g$ は $23$ または $19$ または $437$ または $1$ である。また、$g$ は $a$ と $b$ の公約数なので、$a$ と $b$ は互いに素でないという条件より、$g > 1$ である。

$2024 = 2^3 \times 11 \times 23$ である。

$g$ は $2024$ の約数である。

$g(x+y) = 437 = 23 \times 19$ より、$g$ は $23$ または $19$ の約数である。

よって、$g = 23$ または $g = 19$ である。

$gxy = 2024$ より、$xy = \frac{2024}{g}$ 。

$g=23$ のとき、$xy = \frac{2024}{23} = 88 = 2^3 \times 11$。

$g=19$のとき、$xy = \frac{2024}{19}$ は整数ではないので、$g \neq 19$ である。

したがって、$g=23$ であり、$xy = 88$。

$x+y = \frac{437}{23} = 19$ である。

(3) $x+y = 19$ かつ $xy = 88$ を満たす $x, y$ の組を求める。

$x$ と $y$ は $t^2 - 19t + 88 = 0$ の解である。

$(t-8)(t-11) = 0$ より、$t = 8, 11$ 。

$x, y$ は互いに素であるから、$x=8, y=11$ または $x=11, y=8$ 。

$a = gx = 23x$, $b = gy = 23y$ より、

$(a, b) = (23 \times 8, 23 \times 11) = (184, 253)$ または $(a, b) = (23 \times 11, 23 \times 8) = (253, 184)$ 。

3. 最終的な答え

(1) 23

(2) 23

(3) $(a, b) = (184, 253), (253, 184)$