奇数の列を、$\{1\}, \{3, 5\}, \{7, 9, 11\}, \{13, 15, 17, 19\}, \dots$ のように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の項を求めよ。 (2) 第 $n$ 群に属する数の和を求めよ。

1. 問題の内容

奇数の列を、$\{1\}, \{3, 5\}, \{7, 9, 11\}, \{13, 15, 17, 19\}, \dots$ のように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の項を求めよ。

(2) 第 $n$ 群に属する数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の項を求める。

まず、各群に含まれる項の数を考えると、第1群は1個、第2群は2個、第3群は3個、…、第 $n$ 群は $n$ 個の項を含む。

したがって、第 $(n-1)$ 群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ 個である。

これは、第 $n$ 群の最初の項が、全体の奇数列の中で何番目の項であるかを表している。

よって、第 $n$ 群の最初の項は、奇数列の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の項である。

奇数列の $m$ 番目の項は $2m-1$ で表されるので、第 $n$ 群の最初の項は、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ となる。

(2) 第 $n$ 群に属する数の和を求める。

第 $n$ 群は $n$ 個の項からなる等差数列である。第 $n$ 群の最初の項は $n^2 - n + 1$ であり、公差は2である。

したがって、第 $n$ 群の最後の項は、$n^2 - n + 1 + 2(n-1) = n^2 - n + 1 + 2n - 2 = n^2 + n - 1$ である。

等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いると、第 $n$ 群の和は、

$\frac{n((n^2 - n + 1) + (n^2 + n - 1))}{2} = \frac{n(2n^2)}{2} = n^3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の項: $n^2 - n + 1$

(2) 第 $n$ 群に属する数の和: $n^3$