正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の奇数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。 (2) 第 $n$ 群にあるすべての奇数の和を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の奇数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

(2) 第 $n$ 群にあるすべての奇数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

* 第 $n-1$ 群までの奇数の個数の合計を求める。これは、数列 $1, 2, 3, ..., n-1$ の和なので、$\frac{(n-1)n}{2}$ となる。

* したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は、奇数列の ($\frac{(n-1)n}{2} + 1$) 番目の数である。

* 奇数列の $k$ 番目の数は、$2k - 1$ で表されるので、第 $n$ 群の最初の奇数は、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1$ = $n(n-1) + 2 - 1$ = $n^2 - n + 1$ である。

(2) 第 $n$ 群にあるすべての奇数の和を求める。

* 第 $n$ 群には $n$ 個の奇数があり、最初の奇数は $n^2 - n + 1$ である。

* したがって、第 $n$ 群の奇数は、$n^2 - n + 1, n^2 - n + 3, n^2 - n + 5, ..., n^2 - n + (2n-1)$ となる。

* これは等差数列なので、その和は、項数 $n$、初項 $n^2 - n + 1$、末項 $n^2 - n + (2n-1) = n^2 + n - 1$ を用いて計算できる。

* 等差数列の和の公式は、$\frac{n(初項 + 末項)}{2}$ である。

* よって、第 $n$ 群の奇数の和は、$\frac{n((n^2 - n + 1) + (n^2 + n - 1))}{2}$ = $\frac{n(2n^2)}{2}$ = $n^3$ である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数: $n^2 - n + 1$

(2) 第 $n$ 群にあるすべての奇数の和: $n^3$