以下の問題について、解を求めます。 1. $5x \equiv 13 \pmod{37}$ (1次合同式)

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の問題について、解を求めます。

1. $5x \equiv 13 \pmod{37}$ (1次合同式)

2. $9x + 13y = 1$ (不定方程式の整数解)

3. 7 を法として 3 の逆元

4. 11 を法として 7 の逆元

5. 31 を法として 7 の逆元

6. 41 を法として 9 の逆元

2. 解き方の手順

1. $5x \equiv 13 \pmod{37}$ の解法:

まず、5の法37における逆元を求めます。拡張ユークリッドの互除法を使うか、または地道に探します。

$5 \times 15 = 75 = 2 \times 37 + 1 \equiv 1 \pmod{37}$ なので、5の逆元は15です。

両辺に15をかけると、

$15 \times 5x \equiv 15 \times 13 \pmod{37}$

$75x \equiv 195 \pmod{37}$

$x \equiv 195 \pmod{37}$

$195 = 5 \times 37 + 10$

$x \equiv 10 \pmod{37}$

2. $9x + 13y = 1$ の解法:

拡張ユークリッドの互除法を使います。

$13 = 1 \times 9 + 4$

$9 = 2 \times 4 + 1$

したがって、

$1 = 9 - 2 \times 4 = 9 - 2 \times (13 - 1 \times 9) = 9 - 2 \times 13 + 2 \times 9 = 3 \times 9 - 2 \times 13$

よって、$9(3) + 13(-2) = 1$.

したがって、整数解の一つは $(x, y) = (3, -2)$.

3. 7 を法として 3 の逆元:

3 に何をかけたら、7を法として1になるかを考えます。

$3 \times x \equiv 1 \pmod{7}$

$3 \times 5 = 15 = 2 \times 7 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、3の逆元は5です。

4. 11 を法として 7 の逆元:

7 を法として 11 は $11 \equiv 4 \pmod{7}$ と合同なので、7を法として 4 の逆元を求めます。

$4 \times x \equiv 1 \pmod{7}$

$4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、7を法として11の逆元は2です。

5. 31 を法として 7 の逆元:

7 を法として 31 は $31 \equiv 3 \pmod{7}$ と合同なので、7を法として 3 の逆元を求めます。

$3 \times x \equiv 1 \pmod{7}$

$3 \times 5 = 15 = 2 \times 7 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、7を法として31の逆元は5です。

6. 41 を法として 9 の逆元:

9 を法として 41 は $41 \equiv 5 \pmod{9}$ と合同なので、9を法として 5 の逆元を求めます。

$5 \times x \equiv 1 \pmod{9}$

$5 \times 2 = 10 \equiv 1 \pmod{9}$

したがって、9を法として41の逆元は2です。

3. 最終的な答え

1. $x \equiv 10 \pmod{37}$

2. $(x, y) = (3, -2)$

3. 5

4. 2

5. 5

6. 2