Z/7Zにおける乗法表の完成、逆元の計算、四則演算、Z/4Zが体にならない理由、および合同式の計算と曜日の計算を行う問題です。

1. 問題の内容

Z/7Zにおける乗法表の完成、逆元の計算、四則演算、Z/4Zが体にならない理由、および合同式の計算と曜日の計算を行う問題です。

2. 解き方の手順

(1) Z/7Zの乗法表を完成させるには、各要素の積を7で割った余りを計算します。例えば、$2 \times 3 = 6$、$3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$などです。

(2) 逆元を求めるには、乗法表で1になる組み合わせを探します。例えば、$1^{-1}$ は $1 \times 1 = 1$ なので $1^{-1}=1$、$2^{-1}$ は $2 \times 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ なので $2^{-1}=4$です。

(3) Z/7Zでの計算は、通常の四則演算を行った後、7で割った余りを計算します。

* $4 + 6 = 10 \equiv 3 \pmod{7}$

* $3 - 5 = -2 \equiv 5 \pmod{7}$

* $2 \times 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$

* $4 \div 6$ は $4 \times 6^{-1}$ と考え、$6^{-1}=6$であるため、$4 \times 6 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$

(4) Z/4Z={0,1,2,3} が体にならない理由は、0以外の元で逆元を持たないものがあるためです。例えば、$2 \times 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$であり、$2$は逆元を持ちません。体であるためには、0以外のすべての要素が逆元を持つ必要があります。

(5) $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$を確認するには、$3^6$を計算し、7で割った余りが1になることを示します。$3^1 = 3$, $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$, $3^3 = 3 \times 2 = 6 \pmod{7}$, $3^4 = 3 \times 6 = 18 \equiv 4 \pmod{7}$, $3^5 = 3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$, $3^6 = 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$となります。

(6) 今日が日曜日であるとすると、3100日後が何曜日になるかを計算します。1週間は7日なので、$3100 \pmod{7}$ を計算します。$3100 = 7 \times 442 + 6$ なので、$3100 \equiv 6 \pmod{7}$ です。したがって、3100日後は日曜日から6日後なので、土曜日になります。

3. 最終的な答え

(1) Z/7Zの乗法表：

| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |

| 3 | 0 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |

| 4 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |

| 5 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |

| 6 | 0 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |

(2) 逆元：

$1^{-1} = 1, 2^{-1} = 4, 3^{-1} = 5, 4^{-1} = 2, 5^{-1} = 3, 6^{-1} = 6$

(3) 計算：

$4 + 6 = 3, 3 - 5 = 5, 2 \times 4 = 1, 4 \div 6 = 3$

(4) Z/4Z が体にならない理由：

2が逆元を持たないから。

(5) $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$ である。

(6) 3100日後は土曜日。