(1) 整数 $m$ について、$m^2$ が 5 の倍数ならば $m$ は 5 の倍数であることを用いて、$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する。 (2) (1) の結果を用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{15}$ は無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 整数 $m$ について、$m^2$ が 5 の倍数ならば $m$ は 5 の倍数であることを用いて、$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する。

(2) (1) の結果を用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{15}$ は無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$m^2$ が 5 の倍数ならば $m$ は 5 の倍数であることを証明する。

対偶を考える: 「$m$ が 5 の倍数でないならば $m^2$ は 5 の倍数でない」

$m$ が 5 の倍数でないとき、$m$ は $5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4$ ($k$ は整数) のいずれかで表せる。

それぞれについて $m^2$ を計算する。

* $m = 5k+1$ のとき、$m^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

* $m = 5k+2$ のとき、$m^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

* $m = 5k+3$ のとき、$m^2 = (5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

* $m = 5k+4$ のとき、$m^2 = (5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

いずれの場合も $m^2$ は 5 で割ると 1 または 4 余るので、5 の倍数ではない。

よって、対偶が真なので、$m^2$ が 5 の倍数ならば $m$ は 5 の倍数である。

次に、$\sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する。

$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \ne 0$) を用いて $\sqrt{5} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を2乗すると、

$5 = \frac{m^2}{n^2}$

$5n^2 = m^2$

したがって、$m^2$ は 5 の倍数である。よって、$m$ は 5 の倍数である。

$m = 5k$ ($k$ は整数) と表せるので、$5n^2 = (5k)^2 = 25k^2$

$n^2 = 5k^2$

したがって、$n^2$ は 5 の倍数である。よって、$n$ は 5 の倍数である。

$m$ と $n$ がともに 5 の倍数であることは、$m$ と $n$ が互いに素であることに矛盾する。

よって、$\sqrt{5}$ は無理数である。

(2)

$\sqrt{3} + \sqrt{15}$ が無理数であることを背理法で証明する。

$\sqrt{3} + \sqrt{15}$ が有理数であると仮定すると、$\sqrt{3} + \sqrt{15} = r$ ($r$ は有理数) と表せる。

$\sqrt{15} = r - \sqrt{3}$

両辺を 2 乗すると、

$15 = r^2 - 2r\sqrt{3} + 3$

$2r\sqrt{3} = r^2 - 12$

$r \ne 0$ のとき、

$\sqrt{3} = \frac{r^2 - 12}{2r}$

$r$ は有理数なので、$\frac{r^2 - 12}{2r}$ も有理数となり、$\sqrt{3}$ が有理数であることになり矛盾する。

$r=0$ のとき、$\sqrt{3} + \sqrt{15} = 0$ となるが、これは明らかに誤り。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{15}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}$ は無理数である

(2) $\sqrt{3} + \sqrt{15}$ は無理数である