整数 $m, n$ に関する以下の3つの命題を証明します。 (1) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。 (2) $2m = 3n$ ならば、$m$ は 3 の倍数である。 (3) $mn$ が 3 の倍数ならば、$m$ または $n$ は 3 の倍数である。

1. 問題の内容

整数 $m, n$ に関する以下の3つの命題を証明します。

(1) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

(2) $2m = 3n$ ならば、$m$ は 3 の倍数である。

(3) $mn$ が 3 の倍数ならば、$m$ または $n$ は 3 の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明します。つまり、$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数であることを示します。

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ ($k$ は整数) と表せます。

すると、

$n^3 + 1 = (2k + 1)^3 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$

$4k^3 + 6k^2 + 3k + 1$ は整数なので、$n^3 + 1$ は 2 の倍数、つまり偶数です。

よって、対偶が真なので、元の命題も真です。

(2) $2m = 3n$ より、$m = \frac{3n}{2}$ です。$m$ は整数なので、$\frac{3n}{2}$ も整数です。

$3n$ は 2 の倍数である必要があります。3 は 2 で割り切れないので、$n$ が 2 の倍数である必要があります。

したがって、$n = 2k$ ($k$ は整数) と表せます。

これを $m = \frac{3n}{2}$ に代入すると、$m = \frac{3(2k)}{2} = 3k$ となり、$m$ は 3 の倍数であることがわかります。

(3) 対偶を証明します。つまり、$m$ も $n$ も 3 の倍数でないならば、$mn$ は 3 の倍数でないことを示します。

$m$ も $n$ も 3 の倍数でないとき、$m = 3k + 1$ または $m = 3k + 2$ ($k$ は整数) であり、$n = 3l + 1$ または $n = 3l + 2$ ($l$ は整数) です。

場合1: $m = 3k + 1$ かつ $n = 3l + 1$ のとき、

$mn = (3k + 1)(3l + 1) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3(3kl + k + l) + 1$ となり、$mn$ は 3 の倍数ではありません。

場合2: $m = 3k + 1$ かつ $n = 3l + 2$ のとき、

$mn = (3k + 1)(3l + 2) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3(3kl + 2k + l) + 2$ となり、$mn$ は 3 の倍数ではありません。

場合3: $m = 3k + 2$ かつ $n = 3l + 1$ のとき、

$mn = (3k + 2)(3l + 1) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3(3kl + k + 2l) + 2$ となり、$mn$ は 3 の倍数ではありません。

場合4: $m = 3k + 2$ かつ $n = 3l + 2$ のとき、

$mn = (3k + 2)(3l + 2) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 3(3kl + 2k + 2l + 1) + 1$ となり、$mn$ は 3 の倍数ではありません。

いずれの場合も $mn$ は 3 の倍数ではないので、対偶が真であり、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(1) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。(証明終わり)

(2) $2m = 3n$ ならば、$m$ は 3 の倍数である。(証明終わり)

(3) $mn$ が 3 の倍数ならば、$m$ または $n$ は 3 の倍数である。(証明終わり)