与えられた2つの3次方程式を解きます。 (1) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$ (2) $2x^3 + 3x^2 - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの3次方程式を解きます。

(1) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

(2) $2x^3 + 3x^2 - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$ の解を、因数定理を用いて探します。

$x = -1$ を代入すると、$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$ となり、$x = -1$ は解の一つであることがわかります。

したがって、多項式 $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ は $(x + 1)$ を因数に持ちます。

実際に割り算を行うと、

$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6)$

さらに、$x^2 + 5x + 6$ を因数分解すると、$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ となります。

よって、$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0$ となります。

したがって、$x = -1, -2, -3$ が解です。

(2)

次に、$2x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ の解を、因数定理を用いて探します。

$x = -1$ を代入すると、$2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0$ となり、$x = -1$ は解の一つであることがわかります。

したがって、多項式 $2x^3 + 3x^2 - 1$ は $(x + 1)$ を因数に持ちます。

実際に割り算を行うと、

$2x^3 + 3x^2 - 1 = (x + 1)(2x^2 + x - 1)$

さらに、$2x^2 + x - 1$ を因数分解すると、$2x^2 + x - 1 = (x + 1)(2x - 1)$ となります。

よって、$2x^3 + 3x^2 - 1 = (x + 1)(x + 1)(2x - 1) = (x + 1)^2(2x - 1) = 0$ となります。

したがって、$x = -1, \frac{1}{2}$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, -2, -3$

(2) $x = -1, \frac{1}{2}$