三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、$\angle ACB = 60^{\circ}$、$\angle CAI = 35^{\circ}$ のとき、$\angle P$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、$\angle ACB = 60^{\circ}$、$\angle CAI = 35^{\circ}$ のとき、$\angle P$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、内心Iの性質から、AIは$\angle BAC$の二等分線なので、$\angle BAC = 2 \times \angle CAI = 2 \times 35^{\circ} = 70^{\circ}$となる。

次に、三角形の内角の和は$180^{\circ}$であるから、$\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$となる。

同様に、BIは$\angle ABC$の二等分線なので、$\angle ABI = \angle CBI = \frac{1}{2} \times \angle ABC = \frac{1}{2} \times 50^{\circ} = 25^{\circ}$となる。

$\angle P$は$\angle CBI$と同じ角度なので、$\angle P = 25^{\circ}$となる。

3. 最終的な答え

25°