三角形ABCの内接円の中心をIとする。$\angle BAC = 66^\circ$, $\angle ICA = 22^\circ$であるとき、$\angle P$の大きさを求めよ。ただし、点Pは線分BC上にある。

1. 問題の内容

三角形ABCの内接円の中心をIとする。$\angle BAC = 66^\circ$, $\angle ICA = 22^\circ$であるとき、$\angle P$の大きさを求めよ。ただし、点Pは線分BC上にある。

2. 解き方の手順

内心Iは三角形の角の二等分線の交点である。よって、

$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 66^\circ = 33^\circ$

$\angle ICA = 22^\circ$ であるので、$\angle C = 2 \times \angle ICA = 2 \times 22^\circ = 44^\circ$

三角形の内角の和は180度なので、

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 66^\circ - 44^\circ = 70^\circ$

よって、$\angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 70^\circ = 35^\circ$

三角形ABIにおいて、

$\angle P = 180^\circ - \angle BAI - \angle ABI = 180^\circ - 33^\circ - 35^\circ = 112^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle P = 112^\circ$