$\tan{\theta} = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\tan{\theta} = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であることを利用する。

また、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ である。

$\tan{\theta} = -\frac{2}{3}$ なので、$\sin{\theta} = -\frac{2}{3} \cos{\theta}$ と表せる。

これを $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ に代入すると、

$(-\frac{2}{3}\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{4}{9} \cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{13}{9} \cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{9}{13}$

$\cos{\theta} = \pm \frac{3}{\sqrt{13}} = \pm \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ より、$\cos{\theta} < 0$ なので、$\cos{\theta} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$

次に、$\sin{\theta}$ を求める。

$\sin{\theta} = -\frac{2}{3} \cos{\theta} = -\frac{2}{3} (-\frac{3\sqrt{13}}{13}) = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ より、$\sin{\theta} > 0$ なので、$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos{\theta} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$