$\tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ であり、答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ であり、答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{1}{3}$ であることから、直角三角形を考えます。$\theta$ を一つの角とする直角三角形において、$\theta$ の対辺の長さを 1、隣辺の長さを 3 とすると、$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1}{3}$ となります。

この直角三角形の斜辺の長さを $r$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$$r^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$

したがって、$r = \sqrt{10}$ となります。

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

これらの値をそれぞれ有理化します。

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$