$\sin \theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$である。答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$である。答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を利用して$\cos \theta$を求める。

$\sin \theta = \frac{1}{4}$なので、

$(\frac{1}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{15}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$より、$\cos \theta < 0$なので、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan \theta$を求める。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$であるから、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}$

$\tan \theta = \frac{1}{4} \times (-\frac{4}{\sqrt{15}})$

$\tan \theta = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

$\tan \theta = - \frac{\sqrt{15}}{15}$ (有理化)

3. 最終的な答え

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = - \frac{\sqrt{15}}{15}$