$\cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ です。

1. 問題の内容

$\cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して $\sin\theta$ の値を求めます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\cos\theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2\theta + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ なので、$\sin\theta \ge 0$ であるから、

$\sin\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan\theta$ の値を求めます。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であるから、

$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$