$\cos{\theta} = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めよ。ただし、$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$。

1. 問題の内容

$\cos{\theta} = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めよ。ただし、$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な恒等式である $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用して、$\sin{\theta}$ の値を求めます。

$\cos{\theta} = \frac{3}{5}$ を代入すると、

$\sin^2{\theta} + (\frac{3}{5})^2 = 1$

$\sin^2{\theta} + \frac{9}{25} = 1$

$\sin^2{\theta} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin{\theta} = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$ のとき、$\sin{\theta} \ge 0$ なので、

$\sin{\theta} = \frac{4}{5}$

次に、$\tan{\theta}$ の値を求めます。$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であるから、

$\tan{\theta} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{4}{5}$

$\tan{\theta} = \frac{4}{3}$