直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAを出発しAB上を毎秒2cmでBまで動く。BC,CA上に点Q, Rをとり四角形PQCRが平行四辺形になるようにする。三角形APRと三角形PBQの面積の和が26平方センチメートルになるのは、点PがAを出発してから何秒後か。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAを出発しAB上を毎秒2cmでBまで動く。BC,CA上に点Q, Rをとり四角形PQCRが平行四辺形になるようにする。三角形APRと三角形PBQの面積の和が26平方センチメートルになるのは、点PがAを出発してから何秒後か。

2. 解き方の手順

まず、点PがAを出発してからt秒後の状態を考える。

AP = 2t (cm)

PB = 10 - 2t (cm)

四角形PQCRは平行四辺形なので、

AR = BQ

△APRと△PBQはどちらも直角二等辺三角形なので、

AR = AP = 2t

BQ = PB = 10 - 2t

△APRの面積は、

$\frac{1}{2} \times AR \times AP = \frac{1}{2} \times (2t) \times (2t) = 2t^2$

△PBQの面積は、

$\frac{1}{2} \times BQ \times PB = \frac{1}{2} \times (10 - 2t) \times (10 - 2t) = 2(5-t)^2 = 2(25 - 10t + t^2) = 2t^2 - 20t + 50$

△APRと△PBQの面積の和が26になるので、

$2t^2 + 2t^2 - 20t + 50 = 26$

$4t^2 - 20t + 24 = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

$(t-2)(t-3) = 0$

$t = 2, 3$

点PがAからBまで移動するのにかかる時間は10cm / (2cm/秒) = 5秒なので、tは0から5の間でなければならない。

t=2, t=3は両方ともこの範囲内にあるので、答えとして適切である。

3. 最終的な答え

2秒後と3秒後