三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle IAB = 35^\circ$, $\angle ABC = 76^\circ$ のとき、$\angle P$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle IAB = 35^\circ$, $\angle ABC = 76^\circ$ のとき、$\angle P$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

内心は角の二等分線の交点であるから、$\angle BAC = 2 \times \angle IAB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

三角形の内角の和は180度であるから、$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ - 76^\circ = 34^\circ$

$\angle ACB = 34^\circ$ であり、点Iは内心であるから、$\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times 34^\circ = 17^\circ$

三角形IBCの内角の和は180度であるから、

$\angle BIC = 180^\circ - \angle IBC - \angle ICB = 180^\circ - \frac{76^\circ}{2} - 17^\circ = 180^\circ - 38^\circ - 17^\circ = 125^\circ$

内心Iから辺BCへ垂線を下ろすと、その交点はPと一致する。

したがって、IPはBCに対して垂直である。

$\angle IPC = 90^\circ$

三角形ICPについて、$\angle P = 180^\circ - \angle IPC - \angle ICB = 180^\circ - 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ$

$\angle P = 73^\circ$

3. 最終的な答え

73°