三角形ABCにおいて、$AB=8$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$のとき、$BC$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$のとき、$BC$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$BC$の長さを求めます。余弦定理は、三角形の2辺の長さとその間の角の大きさが分かっているとき、残りの1辺の長さを求めることができる定理です。

三角形ABCにおいて、余弦定理は以下のように表されます。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

問題文より、$AB=8$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$なので、これを代入します。

$BC^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$BC^2 = 64 + 9 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 73 - 24$

$BC^2 = 49$

$BC > 0$なので、$BC = \sqrt{49}$

$BC = 7$

3. 最終的な答え

$BC = 7$