三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を使って、$CA$ の長さを求めます。

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

したがって、

$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$.

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{6}}{3}$