円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=3$, $CD=1$, $DA=2$である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求めよ。 (1) BD (2) BE

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=3$, $CD=1$, $DA=2$である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求めよ。

(1) BD

(2) BE

2. 解き方の手順

(1) BDの長さの求め方

円に内接する四角形ABCDに対して、トレミーの定理を用いると、

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

これに与えられた値を代入すると、

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = AC \cdot BD$

$2 + 6 = AC \cdot BD$

$AC \cdot BD = 8$

次に、余弦定理を用いてACとBDを求める。

$\angle ABC = \theta$とおくと、$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$となる。

$\triangle ABC$において、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 4 + 9 - 12 \cos \theta$

$AC^2 = 13 - 12 \cos \theta$

$\triangle ADC$において、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^{\circ} - \theta)$

$AC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-\cos \theta)$

$AC^2 = 4 + 1 + 4 \cos \theta$

$AC^2 = 5 + 4 \cos \theta$

したがって、

$13 - 12 \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$

$16 \cos \theta = 8$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$

$AC^2 = 5 + 4 \cos \theta = 5 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 5 + 2 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

$AC \cdot BD = 8$より、

$\sqrt{7} \cdot BD = 8$

$BD = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) BEの長さの求め方

$\triangle ABE$と$\triangle DCE$は相似であるから、

$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{1} = 2$

したがって、$BE = 2DE$

$BD = BE + DE = 2DE + DE = 3DE$

$DE = \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3} \cdot \frac{8\sqrt{7}}{7} = \frac{8\sqrt{7}}{21}$

$BE = 2DE = 2 \cdot \frac{8\sqrt{7}}{21} = \frac{16\sqrt{7}}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) $BE = \frac{16\sqrt{7}}{21}$