直角三角形ABCにおいて、∠A=90°である。∠Aの二等分線と辺BCの交点をEとし、∠Cの二等分線とAEの交点をOとする。AO:OE = $(\sqrt{3}+1):2$のとき、∠Bの大きさを求める問題である。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠A=90°である。∠Aの二等分線と辺BCの交点をEとし、∠Cの二等分線とAEの交点をOとする。AO:OE = $(\sqrt{3}+1):2$のとき、∠Bの大きさを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、∠Aの二等分線より、∠BAE = ∠CAE = 45°である。

次に、∠Cの二等分線を引いているので、∠ACE = ∠BCEとなる。∠ACB = 2θとおく。

三角形ABCの内角の和より、∠A + ∠B + ∠C = 180°なので、90° + ∠B + 2θ = 180°となり、∠B = 90° - 2θとなる。

角の二等分線の性質より、AEは∠Aの二等分線なので、

$BE:EC=AB:AC$が成り立つ。

また、角の二等分線の定理より、

$AO:OE = (AC+OC):CE$

$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$

ここで、三角形AECにおいて、COは∠Cの二等分線なので、

$AO:OE = (AC+EC):CE$

三角形ACEにおいて、正弦定理を用いると、

$\frac{AE}{\sin{2\theta}} = \frac{AC}{\sin{\angle AEC}} = \frac{CE}{\sin{\angle CAE}}$

$\angle AEC = 180 - (\angle ACE + \angle CAE) = 180 - (2\theta + 45)$

$\angle AEC = 135 - 2\theta$

ここで、$\angle ACB = 2\theta$なので、$\angle BCE = \theta$

$\frac{AO}{OE} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

∠A=90°なので、∠B + ∠C = 90°

∠C = 2θとすると、∠B = 90 - 2θ

AEは∠Aの二等分線なので、

$BE:EC=AB:AC$である。

三角形ACEにおいて、正弦定理より、

$\frac{AE}{\sin{2\theta}}=\frac{AC}{\sin{\angle AEC}}=\frac{CE}{\sin{45}}$

$\angle AEC=135-2\theta$

$AC = \frac{AE\sin{(135-2\theta)}}{\sin{(2\theta)}}$

$CE = \frac{AE\sin{(45)}}{\sin{(2\theta)}}$

角の二等分線定理より、

$AO:OE = AC:CE$

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{AC+CE}{CE}$

$(\sqrt{3}+1)CE = 2AC + 2CE$

$(\sqrt{3}-1)CE = 2AC$

$\frac{AC}{CE}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\frac{AC}{CE}=\frac{AE\sin{(135-2\theta)}}{\sin{(2\theta)}}/\frac{AE\sin{(45)}}{\sin{(2\theta)}}$

$\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sin{(135-2\theta)}}{\sin{45}}$

$\frac{\sqrt{3}-1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{1} = \sin{(135-2\theta)}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \sin{(135-2\theta)}$

$\sin{15} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\sin{75} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = 2*\sin{15}*\frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}sin{15}$

$135-2\theta = 15$

$2\theta = 120$

$\theta = 60$

∠C = 2θ = 60°

∠B = 90 - 2θ = 30°

3. 最終的な答え

∠B = 30°