円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求めよ。 (1) BDの長さ (2) BEの長さ

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、以下の値を求めよ。

(1) BDの長さ

(2) BEの長さ

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

余弦定理を2回用いてBDの長さを計算する。四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は180度である。

$\angle ABC = \theta$とおくと、$\angle ADC = 180^\circ - \theta$となる。

まず、$\triangle ABC$について余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 4 + 9 - 12 \cos \theta$

$AC^2 = 13 - 12 \cos \theta$ ...(1)

次に、$\triangle ADC$について余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 4 + 1 + 4 \cos \theta$

$AC^2 = 5 + 4 \cos \theta$ ...(2)

(1)と(2)より、

$13 - 12 \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$

$16 \cos \theta = 8$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = 60^\circ$

(1)に$\cos \theta = \frac{1}{2}$を代入すると、

$AC^2 = 13 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

$\triangle ABC$において、$\cos \theta = \frac{1}{2}$だったので、$\theta = 60^\circ$。

$\triangle ABD$について余弦定理を用いると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos A$

$BD^2 = 8 - 8 \cos A$

$\triangle BCD$について余弦定理を用いると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$BD^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos C$

$BD^2 = 10 - 6 \cos C$

$A + C = 180^\circ$なので、$C = 180^\circ - A$。$\cos C = \cos (180^\circ - A) = -\cos A$

したがって、$BD^2 = 10 + 6 \cos A$

$8 - 8 \cos A = 10 + 6 \cos A$

$-2 = 14 \cos A$

$\cos A = -\frac{1}{7}$

$BD^2 = 8 - 8 \cdot (-\frac{1}{7}) = 8 + \frac{8}{7} = \frac{56+8}{7} = \frac{64}{7}$

$BD = \sqrt{\frac{64}{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) BEの長さを求める。

$\triangle ABE$と$\triangle CDE$は相似であるから、

$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{1} = 2$

$BE = 2DE$

$BD = BE + DE = 2DE + DE = 3DE$

$DE = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot \frac{8\sqrt{7}}{7} = \frac{8\sqrt{7}}{21}$

$BE = 2DE = 2 \cdot \frac{8\sqrt{7}}{21} = \frac{16\sqrt{7}}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) $BE = \frac{16\sqrt{7}}{21}$