$\angle A$ が直角である直角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $E$ とします。さらに、$\angle C$ の二等分線と $AE$ の交点を $O$ とすると、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ である。このとき、$\angle B$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle A$ が直角である直角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $E$ とします。さらに、$\angle C$ の二等分線と $AE$ の交点を $O$ とすると、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ である。このとき、$\angle B$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle ACE = \angle BCE = \theta$ とおく。

$\angle BAE = \angle CAE = 45^\circ$ である。

三角形 $AOC$ において、正弦定理より

$\frac{AO}{\sin \theta} = \frac{CO}{\sin 45^\circ}$

三角形 $COE$ において、正弦定理より

$\frac{OE}{\sin \theta} = \frac{CO}{\sin \angle CEO}$

したがって、

$\frac{AO}{OE} = \frac{\sin \angle CEO}{\sin 45^\circ}$

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sin \angle CEO}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\sin \angle CEO = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sin 75^\circ$

よって、$\angle CEO = 75^\circ$

$\angle CEO = \angle CAE + \angle ACE = 45^\circ + \theta$

したがって、$45^\circ + \theta = 75^\circ$

$\theta = 30^\circ$

$\angle C = 2\theta = 60^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle B = 30^\circ$