直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が14cmである。このとき、直角三角形の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が14cmである。このとき、直角三角形の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

* ABの長さを$x$とする。

* BCの長さは$14 - x$となる。

* 三角形の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (14 - x)$

$S = \frac{1}{2} (14x - x^2)$

$S = -\frac{1}{2}x^2 + 7x$

* $S$を最大にする$x$を求める。 $S$は$x$の二次関数なので、平方完成することで最大値を求めることができる。

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x)$

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x + 49 - 49)$

$S = -\frac{1}{2}((x-7)^2 - 49)$

$S = -\frac{1}{2}(x-7)^2 + \frac{49}{2}$

* $S$は$x = 7$のとき最大値$\frac{49}{2}$をとる。

3. 最終的な答え

$\frac{49}{2} cm^2$