正四面体ABCDの各辺の中点をP, Q, R, S, T, Uとする。 この正四面体を平面PQR, 平面RSU, 平面PST, 平面QTUで切る。 このとき、 (1) 切り取った立体APQRが正四面体であることを示す。 (2) 正四面体ABCDから切り取った正八面体PQRSTUは、もとの正四面体の半分の体積をもつことを示す。

1. 問題の内容

正四面体ABCDの各辺の中点をP, Q, R, S, T, Uとする。

この正四面体を平面PQR, 平面RSU, 平面PST, 平面QTUで切る。

このとき、

(1) 切り取った立体APQRが正四面体であることを示す。

(2) 正四面体ABCDから切り取った正八面体PQRSTUは、もとの正四面体の半分の体積をもつことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 立体APQRが正四面体であることの証明

正四面体ABCDにおいて、P, Q, Rはそれぞれ辺AB, AC, ARの中点である。

したがって、中点連結定理より、

$PQ = \frac{1}{2}BC$

$QR = \frac{1}{2}BD$

$RP = \frac{1}{2}CD$

正四面体ABCDの辺の長さはすべて等しいので、

$PQ = QR = RP$

したがって、三角形PQRは正三角形である。

同様に、三角形APQ, AQR, ARPも正三角形になる。

ゆえに、立体APQRは正四面体である。

(2) 正八面体PQRSTUの体積が、もとの正四面体ABCDの半分の体積をもつことの証明

正四面体ABCDの体積を$V$とする。

(1)より、立体APQR, BPTU, CRQU, DSRUはそれぞれ合同な正四面体であり、その体積を$v$とすると、

$v = (\frac{1}{2})^3V = \frac{1}{8}V$

よって、正八面体PQRSTUの体積$V'$は、

$V' = V - 4v = V - 4 \times \frac{1}{8}V = V - \frac{1}{2}V = \frac{1}{2}V$

したがって、正八面体PQRSTUの体積は、もとの正四面体ABCDの体積の半分である。

3. 最終的な答え

(1) 立体APQRは正四面体である。

(2) 正八面体PQRSTUの体積は、もとの正四面体ABCDの体積の半分である。