一辺の長さが $a$ の立方体ABCD-EFGHがある。この立方体を平面BDE, BEG, BGD, DEGで切ると正四面体BDEGができる。このとき、一辺の長さが$a$の正四面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の立方体ABCD-EFGHがある。この立方体を平面BDE, BEG, BGD, DEGで切ると正四面体BDEGができる。このとき、一辺の長さが$a$の正四面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

立方体の辺の長さを $x$ とする。正四面体BDEGの一辺の長さは、$a$ なので、$BE = a$ である。

立方体の一つの面である正方形 BFEA において、$BE$ は対角線なので、三平方の定理より $x^2 + x^2 = a^2$。

したがって、

$2x^2 = a^2$

$x^2 = \frac{a^2}{2}$

$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$

立方体の体積は $x^3 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a^3}{2\sqrt{2}}$。

立方体から正四面体BDEGを除いた部分は、合同な四面体 A-BDE, C-BDG, F-BEG, H-DEG の4つである。一つの四面体 A-BDE の体積を計算する。これは三角錐であり、底面は直角二等辺三角形 BDE (面積は $\frac{1}{2}x^2$)、高さは $x$ である。

したがって、四面体 A-BDE の体積は $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^2) x = \frac{1}{6} x^3$。

4つの四面体の体積は $4 \times \frac{1}{6} x^3 = \frac{2}{3} x^3 = \frac{2}{3} (\frac{a}{\sqrt{2}})^3 = \frac{2}{3} \frac{a^3}{2\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3\sqrt{2}}$.

正四面体BDEGの体積は、立方体の体積から4つの四面体の体積を引いたものである。

$\frac{a^3}{2\sqrt{2}} - \frac{a^3}{3\sqrt{2}} = \frac{3a^3 - 2a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}a^3}{12}$.

正四面体の体積の公式は $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$ なので、答えは $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}a^3}{12}$