三角形ABCにおいて、$a=9, B=45^{\circ}, C=75^{\circ}$のとき、外接円の半径Rと辺bの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=9, B=45^{\circ}, C=75^{\circ}$のとき、外接円の半径Rと辺bの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、角Aの大きさを求めます。

$A = 180^{\circ} - B - C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 75^{\circ} = 60^{\circ}$

次に、正弦定理を使って外接円の半径Rを求めます。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = 2R$なので、

$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{9}{\sin 60^{\circ}}$

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$2R = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$

したがって、$R = 3\sqrt{3}$

次に、正弦定理を使って辺bの長さを求めます。正弦定理は、$\frac{b}{\sin B} = 2R$なので、

$b = 2R \sin B = 6\sqrt{3} \sin 45^{\circ}$

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$b = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

外接円の半径Rは$3\sqrt{3}$

辺bの長さは$3\sqrt{6}$