直角三角形に内接する円があり、三角形の辺の一部と円の半径に関する情報が与えられています。このとき、$x$と$y$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形に内接する円があり、三角形の辺の一部と円の半径に関する情報が与えられています。このとき、$x$と$y$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形の残りの辺の長さを求めます。円と接する辺の長さを$a$とすると、$a = 4$とわかります。また、円と接するもう一方の辺の長さを$b$とすると、$b = 6$とわかります。したがって、直角三角形の二辺の長さが4と6であることがわかります。

次に、直角三角形の斜辺の長さをピタゴラスの定理を用いて求めます。斜辺の長さを$c$とすると、

$c^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$

よって、$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$となります。

内接円の半径を$r$とすると、直角三角形の面積$S$は以下の式で表されます。

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$

また、内接円の半径$r$と三角形の3辺の長さを用いて面積を表すと、

$S = \frac{1}{2}r(4+6+2\sqrt{13}) = \frac{1}{2}r(10+2\sqrt{13}) = r(5+\sqrt{13})$

したがって、$r(5+\sqrt{13}) = 12$より、$r = \frac{12}{5+\sqrt{13}} = \frac{12(5-\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})(5-\sqrt{13})} = \frac{12(5-\sqrt{13})}{25-13} = \frac{12(5-\sqrt{13})}{12} = 5-\sqrt{13}$

したがって、内接円の半径$r$は$5-\sqrt{13}$です。

さて、$x$は中心角ですが、$x$を求めるには、三角形の頂点から円の中心を通る線が角を二等分することを利用します。

$\tan(\frac{A}{2}) = \frac{r}{4-r}$

$\tan(\frac{B}{2}) = \frac{r}{6-r}$

ここで、$A$と$B$はそれぞれ、長さ4と6の辺に対する角です。

$x = 180 - (\frac{A+B}{2}) = 180 - 45 = 135$

$x$の角度は90度+$A/2$と$B/2$の和で表されるので、$90+\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$です。ここで、$A+B=90$度なので、$x = 90+\frac{90}{2} = 90+45=135$度です。

$y$は斜辺上にある線分なので、内接円の中心から斜辺に下ろした垂線と、直角三角形の頂点から斜辺に下ろした垂線の交点までの距離を求める必要があります。これは内接円の半径に等しく、5-$\sqrt{13}$です。

$y$は斜辺と内接円が接する点から三角形の頂点までの距離を示しています。

$y = c - (4-r) - (6-r) = 2\sqrt{13} - 10 +2r = 2\sqrt{13}-10+10-2\sqrt{13}=0$

$x$は内接円の中心における角であり、直角三角形の直角の頂点から円の中心を通る直線と、もう一方の頂点から円の中心を通る直線によって挟まれる角である。この角は135度である。したがって、$x=135^{\circ}$

$y$は内接円が斜辺と接する点から、直角三角形の斜辺を共有する頂点までの距離を示す。$y=6 - r = \sqrt{13} + 1$.

3. 最終的な答え

$x = 135$ 度

$y = \sqrt{13} - 1$