図において、$x$ と $y$ の値を求めよ。ただし、円の中心をOとし、円に接する線分の長さはそれぞれ6と5で与えられている。

1. 問題の内容

図において、$x$ と $y$ の値を求めよ。ただし、円の中心をOとし、円に接する線分の長さはそれぞれ6と5で与えられている。

2. 解き方の手順

円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいという性質を利用します。

この性質から、

$x = 5$

方べきの定理を円の中心を通る直線について適用します。

円外の点から円に引いた直線と、円との交点を考えると、$6^2=y \times (y+2r)$となり、方べきの定理を適用すると、

$6^2 = y(y+2y)$

$36=3y^2$

$y^2=12$

$y = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = 5$

$y = 2\sqrt{3}$