三角形ABCにおいて、$AB=1$, $BC=\sqrt{7}$, $\cos{\angle ABC} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$である。 (1) 辺CAの長さを求める。 (2) $\cos{\angle BAC}$の値を求め、三角形ABCの面積を求める。 (3) $\angle BAC$を5等分する4本の直線が辺BCと交わる4個の点のうち、頂点Bに最も近い点をDとする。線分ADの長さを求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=1$, $BC=\sqrt{7}$, $\cos{\angle ABC} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$である。

(1) 辺CAの長さを求める。

(2) $\cos{\angle BAC}$の値を求め、三角形ABCの面積を求める。

(3) $\angle BAC$を5等分する4本の直線が辺BCと交わる4個の点のうち、頂点Bに最も近い点をDとする。線分ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$CA^2 = 1^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{5}{2\sqrt{7}}$

$CA^2 = 1 + 7 - 5 = 3$

$CA = \sqrt{3}$

(2) 余弦定理より

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot CA}$

$\cos{\angle BAC} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}$

$\cos{\angle BAC} = \frac{1 + 3 - 7}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle BAC = 150^\circ$

$\sin{\angle BAC} = \sin{150^\circ} = \frac{1}{2}$

三角形ABCの面積Sは

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) $\angle BAC$を5等分するので、$\angle BAD = \frac{1}{5} \angle BAC = \frac{1}{5} \cdot 150^\circ = 30^\circ$

$\angle ABD = \angle ABC$, $\angle ABC$の$\cos$の値が与えられているので$\sin$の値を求める。

$\sin^2{\angle ABC} + \cos^2{\angle ABC} = 1$

$\sin^2{\angle ABC} = 1 - \left(\frac{5}{2\sqrt{7}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{28} = \frac{3}{28}$

$\sin{\angle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

正弦定理より

$\frac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \frac{AB}{\sin{\angle ADB}}$

$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 30^\circ - \angle ABC$

$\sin{\angle ADB} = \sin{(150^\circ - \angle ABC)} = \sin{150^\circ}\cos{\angle ABC} - \cos{150^\circ}\sin{\angle ABC}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2\sqrt{7}} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{5}{4\sqrt{7}} + \frac{3}{4\sqrt{7}} = \frac{8}{4\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

$AD = \frac{AB \sin{\angle ABD}}{\sin{\angle ADB}} = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $CA = \sqrt{3}$

(2) $\cos{\angle BAC} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, 三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) $AD = \frac{\sqrt{3}}{4}$